Integral von \( \sec^3 x \)

Herleitung und Auswertung

Die Methode der partiellen Integration wird verwendet, um das Integral zu finden:

\[ \int \sec^3 x \, dx \]

Die Formel für die partielle Integration wird wie folgt ausgedrückt:

\[ \int u' v \, dx = uv - \int u v' \, dx \]

Sei \( v = \sec x \) und \( u' = \sec^2 x \); daher ist \( u = \displaystyle \int \sec^2 x \, dx = \tan x \) und \( v' = \sec x \tan x \). Wenn man dies anwendet:

\[ \begin{aligned} \int \sec^3 x \, dx &= \int \sec^2 x \cdot \sec x \, dx \\[6pt] &= \tan x \sec x - \int \tan x \sec x \cdot \tan x \, dx \\[6pt] &= \tan x \sec x - \int \tan^2 x \sec x \, dx \qquad (I) \end{aligned} \]

Verwenden Sie die trigonometrische Identität \( \tan^2 x = \sec^2 x - 1 \), um das Integral umzuformen:

\[ \begin{aligned} \int \tan^2 x \sec x \, dx &= \int (\sec^2 x - 1)\sec x \, dx \\[6pt] &= \int \sec^3 x \, dx - \int \sec x \, dx \end{aligned} \]

Setzen Sie dies wieder in Gleichung (I) ein:

\[ \int \sec^3 x \, dx = \tan x \sec x - \left( \int \sec^3 x \, dx - \int \sec x \, dx \right) \] \[ \int \sec^3 x \, dx = \tan x \sec x - \int \sec^3 x \, dx + \int \sec x \, dx \]

Addieren Sie \( \displaystyle \int \sec^3 x \, dx \) auf beiden Seiten der Gleichung und vereinfachen Sie:

\[ 2 \int \sec^3 x \, dx = \tan x \sec x + \int \sec x \, dx \]

Verwenden Sie die Standard-Integralformel \( \displaystyle \int \sec x \, dx = \ln|\tan x + \sec x| \):

\[ 2 \int \sec^3 x \, dx = \tan x \sec x + \ln|\tan x + \sec x| \]

Durch Division aller Terme durch \( 2 \) und Addition der Integrationskonstante \( c \) erhalten wir das Endergebnis: