Die Methode der partiellen Integration wird verwendet, um das Integral zu finden.
\[ \int \sec^3 x \; dx \]
Die partielle Integration wird wie folgt ausgedrückt
\[ \int u' v \; dx = u v - \int u v' \; dx \]
Sei \( v = \sec x \) und \( u' = \sec^2 x \); daher \( u = \displaystyle \int \sec^2 x \; dx = \tan x \) und \( v' = \sec x \tan x \), um zu schreiben
\[ \int \sec^3 x \; dx = \int \sec^2 x \; \sec x \; dx \\ = \tan x \; \sec x - \int \tan x \; \sec x \; \tan x \; dx \\ = \tan x \; \sec x - \int \tan^2 x \; \sec x \; dx \qquad (I)\]
Verwenden Sie die Identität \( \tan^2 x = \sec^2 x - 1 \), um das letzte Integral wie folgt zu schreiben
\[ \int \tan^2 x \; \sec x \; dx = \int (\sec^2 x - 1) \sec x dx \\
= \int \sec^3 x \; dx - \int \sec x \; dx \]
Setzen Sie in (I) ein und schreiben Sie das gegebene Integral wie folgt
\[ \int \sec^3 x \; dx = \tan x \; \sec x + \int \sec x \; dx - \int \sec^3 x \; dx \]
Addiere \( \displaystyle \int \sec^3 x \; dx \) zu beiden Seiten der obigen Gleichung und vereinfache, um zu erhalten
\[ 2 \int \sec^3 x \; dx = \tan x \; \sec x + \int \sec x \; dx \]
Verwenden Sie das Standardintegral \( \displaystyle \int \sec x \; dx = \ln |\tan x + \sec x| \), um das Obige wie folgt zu schreiben
\[ 2 \int \sec^3 x \; dx = \tan x \; \sec x + \ln |\tan x + \sec x| \]
Teilen Sie alle Terme durch \( 2 \), um die endgültige Antwort zu erhalten.
\[ \boxed { \int \sec^3 x \; dx = \dfrac{1}{2} \left( \tan x \; \sec x + \ln |\tan x + \sec x| \right) + c } \]